어떤 투자자가 매달 동일한 금액을 적립하면서 5년간 투자했습니다. 최종 누적 수익률은 30%였습니다. 5년간 겨우 30% 수익률밖에 안 된다니! 실망스러울 수 있습니다. 하지만 이는 적립식 수익률이 거치식 수익률보다 낮을 수밖에 없다는 점을 간과한 것입니다. 은행의 적금과 예금의 관계처럼, 적립식의 평균 투자 금액은 거치식의 절반에 그치기 때문입니다. 거치식과의 비교를 위해 적립식 수익률을 거치식 수익률로 환산하는 방법을 살펴봅니다. 거치식 수익률 추정을 위한 수식 전개 5년 적립식 수익률 30%를 거치식 수익률로 환산해 보겠습니다. 1년 평균 복리 자산비를 r로 둡니다. 1년 평균 복리 자산비는 1년 평균 복리 성장률 + 1입니다. 1년 평균 복리 성장률은 CAGR(연평균 성장률)이라 보면 됩니다. r = CAGR + 1인 셈입니다. 이해의 편의를 위해 연단위로 설명합니다. 첫 해 투자금은 5년간 투자됩니다. 이 투자금은 5년 후 r × r × r × r × r = r⁵배가 됩니다. 매년 10%씩 복리 성장했다면 (1 + 10%)⁵ ≒ 1.61이니 대략 1.61배가 됩니다. 수익률로는 61%에 해당합니다. 두 번째 투자금은 r⁴배, ..., 마지막 최근 1년전 투자금은 r배가 됩니다. 매년 1회씩 5번에 나누어서 투자했으니, 각각은 전체 투자금 대비 1 / 5씩 투자한 셈입니다. 합을 구해서 총 투자 횟수 5로 나누면 최종 자산비가 됩니다. 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있습니다. (r⁵ + r⁴ + r³ + r² + r) / 5 = 1 + 30% = 1.3 양변에 5를 곱하면 수식이 좀 더 간단해집니다. r⁵ + r⁴ + r³ + r² + r = 6.5 이러한 형태의 수열을 등비 수열이라 합니다. 등비수열을 간단하게 하기 위해 양변에 r을 곱합니다. r⁶ + r⁵ + r⁴ + r³ + r² = 6.5r 두 수식에 r⁵부터 r²까지 공통 항이 존재합니다. 아래 수식에서 윗 수식을 빼면 좌변에는 r⁶ - r이 남고, 우변은 6.5r - 6.5가 됩니다. r⁶ - r = 6.5r - 6.5 좌변으로 모든 항을 옮겨 정리하면 다음과 같은 6차 방정식이 됩니다. r⁶ - 7.5r + 6.5 = 0 투자 기간 5년과 최종 자산비 1.3을 각각 k와 s이라 두고 일반화하면 다음과 같습니다. rᵏ⁺¹ - (ks + 1)r + ks = 0 이 방정식을 풀어 r을 구하면 됩니다. 구한 결과에서 r은 자산비이니 r - 1을 하면 거치식으로 환산한 연평균 복리 수익률이 나옵니다. 참 쉽습니다. 울프럼 알파를 이용한 근사해 찾기 5년 적립식 투자의 경우 6차 방정식이, 10년 적립식 투자의 경우 11차 방정식이 나옵니다. 일반적인 해법으로는 풀 수 없습니다. 수학 문제 풀이에 특화된 울프럼 알파(WolframAlpha)를 사용하여 풀어 보겠습니다. https://www.wolframalpha.com/ 5년 투자 수식 r⁶ - 7.5r + 6.5 = 0을 울프럼 알파에 입력합니다. 다음과 같이 승수만 ^6로 바꾸면 됩니다. 멋지게 그래프도 그려주고 방정식을 만족하는 실수해도 찾아줍니다. 실수해 아래에는 복소수해도 있습니다. 실수해 중에 두 번째로 표시된 1.08877이 답입니다. 1을 빼면 0.08877이니 연평균 약 8.9% 수익률입니다. 맞는지 검산을 해 보겠습니다. 다음과 같이 입력합니다. 0에 가까운 0.000002 정도가 나왔으니 거의 정확하다고 볼 수 있습니다. 5년 적립식 30% 수익률은 거치식으로 따지면 5년간 연평균 8.9% 복리 수익률에 해당됩니다. 이 정도면 무난한 수익률이라 볼 수 있습니다. 울프럼 알파를 이용한 근사해 찾기 2: 10년 적립식 다른 예를 들어보겠습니다. 10년간 투자해서 150% 수익률을 거두었다면, k = 10, s = 150% + 1 = 2.5입니다. 숫자를 계산하지 않고, k와 s를 지정하여 입력해도 풀 수 있습니다. 1보다 큰 세 번째 실수해 1.16186이 답입니다. 10년 적립식 150% 수익률은 거치식으로 연평균 약 16.2% 복리 수익률에 해당합니다. 상당히 높은 수익률을 10년간 거둔 것입니다. 수익률을 자산비로 변환하는 게 번거롭다면 다음과 같이 수익률 형태로 사용해도 됩니다. 다음 수식에서 r과 s는 자산비가 아니라 수익률입니다. 세 번째 실수해를 보면 r = 0.161865가 앞의 계산 결과인 1.16186과 1 차이가 나는 동일한 결과임을 알 수 있습니다. 챗GPT, 제미나이, 코파일럿은 어떻까? 다른 친구들의 수학 실력도 살펴봅니다. OpenAI의 챗GPT, 구글 제미나이(Gemini), 마이크로소프트 코파일럿(Copilot)도 수학 문제 풀이 기능을 제공합니다. 먼저 챗GPT입니다. 상수를 치환하여 수식 전개까지는 잘했는데, 결과는 엉뚱합니다. 정답인 0.16과 큰 차이가 납니다. 다음은 제미나이입니다. 답만 알려달라고 했는데, 수다쟁이입니다. 11차 방정식이기에 해가 많아 긴 설명이 나올 수 있어 r > 0이라는 조건을 추가해서 입력했습니다. 18.9%로 추정하였는데, 정답인 16.2%와 꽤 차이가 납니다. 마지막으로 코파일럿입니다. 코파일럿은 12.84%로 추정했습니다. 역시 정답인 16.2%에 비해 큰 차이가 납니다. 검산을 해 봅니다. 울프럼 알파에서 챗GPT, 제미나이, 코파일럿이 계산한 해로 다음과 같이 계산했습니다. 여기서는 코파일럿이 구한 0.1284로 사례입니다. 확연히 정밀도에 있어 차이가 납니다. 정리하며 적립식으로 투자하면 거치식에 비해 낮은 누적 수익률을 얻게 됩니다. 실망할 수 있겠지만, 이는 적립식의 투자 기간 대비 투자금이 거치식의 절반인 점을 고려하지 않은 결과입니다. 적립식 수익률이 거치식 수익률 얼마에 해당되는지 환산하면 비교할 수 있지만, 자산은 복리로 가격이 변동하기에, 간단하게 계산할 수 있는 수식 형태는 아닙니다. 대충 추정하려면, 적립식으로 얻은 누적 수익률을 마치 거치식 누적 수익률인 것처럼 생각하여 CAGR을 구하고, 그 2배를 쓰면 됩니다. 예를 들어 적립식 10년 투자로 150% 누적 수익률을 얻었다면, 이를 거치식 수익률로 가정하여 CAGR을 구하면 (1 + 150%)¹ᐟ¹⁰ - 1 ≒ 9.6%입니다. 그러니 그 두 배인 9.6% × 2 = 19.2%에 조금 못 미친다고 보면 됩니다. 좀 더 면밀하게 계산하라면 방정식을 만들어서 풀어볼 수 있습니다. 울프럼 알파로 풀어보면, 거치식으로 환산 시 연평균 수익률 16.2%에 해당합니다. 간단 추정치 19.2%와는 연 3% 정도로 작은 차이는 아닙니다. 흥미롭게도 이렇게 대충 추정한 값을 챗GPT, 제미나이, 코파일럿에 물어보아 얻은 결과와 비교하면, 더 정밀하거나 비슷했습니다. 참고: 수치 해석 방식으로 근사값을 구해야 하는 이러한 문제에 대해서는 현재로서는 울프럼 알파가 가장 나은 듯합니다. 이어지는 글: 거치식과 적립식 수익률을 서로 환산해 보자 (어떻게 추정하면 적절할까?) [파이썬 분석 부록 A2] 관련 연재: 순서대로 읽으시길 권합니다. - 적립식 수익률을 거치식 수익률로 환산해서 비교하기 (울프럼 알파 vs 챗GPT + 제미나이 + 코파일럿) (본 글) - 거치식과 적립식 수익률을 서로 환산해 보자 (어떻게 추정하면 적절할까?) [파이썬 분석 부록 A2] - 파이썬을 이용한 수치 해석 (적립식 수익률에 해당하는 거치식 성장률을 찾아보자) [파이썬 분석 부록 A3] - 임의 적립식 투자 수익률에 해당하는 거치식 성장률을 찾아보자 [파이썬 분석 부록 A4] - 구글 시트로 임의 적립식 투자 수익률에 해당하는 거치식 CAGR을 구해보자 [데이터 분석 부록 C1] (골 시크 Goal Seek) - 엑셀로 임의 적립식 투자 수익률에 해당하는 거치식 CAGR을 구해보자 [데이터 분석 부록 C2] (목표값 찾기) 함께 읽으면 좋은 글: - 커버드콜 ETF 수익 구조의 본질 - 프리미엄(배당금)이 대출금이라고? (커버드콜 ETF가 기초 자산보다 수익률이 낮은 이유에 대한 잘못된 설명들) - [파이썬 분석 1] 주가 흐름을 그래프로 그려 보자 (구글 코랩을 써 보자! 인공지능 너도 실수하는구나?) 출처: 적립식 수익률을 거치식 수익률로 환산해서 비교하기 (울프럼 알파 vs 챗GPT + 제미나이 + 코파일럿) [오렌지사과의 사진과 투자:티스토리]
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